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□鹿苑

《对不可能的渴望——数学的惊人真理》，约翰·史迪威著，屠红冯承天译，上海科技教育出版社，2020年3月第1版。

钢琴键设计，每组由7个白键和5个黑键组成。白键对应Dolemi法索拉西，那么为什么会有黑键呢？

古希腊毕达哥拉斯学派发现，当弦的长度处于一个小的整数比时，拨弦时就会出现和声。弦长比为2:1时，为最和谐的八度；长度比为3:2时，为第二和谐五度音程；长度比为4:3时，为四度音程。八度是如此的和谐，以至于我们对有一个八度差的高音和低音感觉“一样”。

毕达哥拉斯学派还发现，音调的相加对应于比例乘法。例如，他们知道五度加上四度等于一个八度，因为3/2×4/3=2。

那么，把八度分成等份，能包含五度和四度吗？毕达哥拉斯学派的追随者不断尝试，但从未成功。看来这个问题的答案是——

不可能的

我们现在知道他们的企图注定要失败。因为3/2的整数次幂不可能等于2的整数次幂，所以无论加多少个五度，都永远得不到一个八度。四度相加是一样的。

中国传统音乐将八度分为五个音级，相当于哆啦a梦，而中国音乐人曾试图用纯五度循环来构造音阶，也陷入了同样的困境。可以说这个问题同时困扰了中外音乐界。

令人惊讶的是，16世纪末，中国的朱载堉和荷兰的西蒙·斯泰文几乎同时提出了同样的折中方案，即以一个八度的12个分(半音)来构造音阶。其中五次为2的7/12次方，约为1.498，非常接近纯五次的3:2(即1.5)。十二个这样的五重奏可以组成七个八度，这个由相等的半音组成的系统就是十二平均律。

回头看琴键，每组的7白5黑12键就是12个音步。来自多的七个键是索，就是刚才说的2的7/12次方，对应一个五度；二重奏中的12个键是下一个二重奏，对应一个八度。

如今，在吉他等乐器的点阵布局中也可以看到十二平均律的应用。将你的手指从一个格子滑动到下一个格子会改变振动弦的长度，改变12个八度音程的相等部分。

从数学的角度来说，十二平均律的基本比2的1/12次方是一个无理数。但是毕达哥拉斯学派不承认无理数，他们认为这样的数是“不合理的”、“荒谬的”。难怪他们解不出十二平均律。

毕达哥拉斯认为不可能的无理数解决了一个困扰人们多年的音乐难题。

努力把不可能变成可能。

这是许多重要数学发现的来源。你可以在《欲望不可能》中找到更多这样的例子。数学家渴望发现不可能，从不可能中获得新的发现。日常生活和工作中不也是这样吗？

2、钢琴黑键的作使用、关于钢琴黑键的作使用简介钢琴黑键是用来弹奏层次不一的音符，也就是被称为“升调”和“降调”的音符。钢琴黑键是钢琴键盘中的一个黑键，位置又短又窄。钢琴键盘的88个键中有36个黑键，每组12个键中有5个黑键。以下是小礼物。希望你能帮忙！

钢琴黑键的作

钢琴黑键是用来弹奏高低不一的音符，分别叫做“升”和“降”。钢琴黑键是钢琴键盘中的一个黑键，位于顶部，更短更窄。钢琴键盘的88个键中有36个黑键，每组12个键中有5个黑键。

由于黑键和白键交替时的高度不同，初学者在弹钢琴时很容易折断手指，但你只要掌握以下技巧就可以很容易避免这种现象。

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